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기하평균 계산기 설명
수 입력 칸에 기하평균을 계산할 수들을 콤마(,) 또는 띄어쓰기(스페이스)로 구분하여 입력하면 계산 결과가 자동으로 표시됩니다.
기하평균 계산기는 두 개의 계산기로 구성되어 있습니다. 위에 있는 것은 일반적인 경우(예: 1,3,5 의 기하 평균 계산)를 위한 계산기이고, 아래에 있는 것은 수익률 이나 성장률의 기하평균을 계산하는 계산기 입니다.
수익률 또는 성장률의 기하평균은 연평균 (북리) 성장률(수익률)이라고도 하는데, 평균적으로 몇 % 씩 성장했는가(또는 수익을 올렸는가)를 계산하는 것입니다.
연평균 (복리) 수익률(성장률)을 CAGR(Compound Annual Growth Rate)이라고도 합니다.
연평균 수익률 계산을 계산하려면 각 회차의 수익률(또는 성장률)을 %로 입력하면 됩니다.
예를 들어, 1년차에 10% 수익 증가, 2년차에 20% 수익 증가, 3년차에는 10% 수익 감소, 4년차에 5% 수익 증가, 5년차에 15% 수익이 증가했다면, ’10 20 -10 5 15′ 또는 ’10, 20, -10, 5, 15′ 와 같이 (작은 따옴표 없이) 입력하면 됩니다.
일반적으로 기하평균은 0 이나 음수가 있는 경우에는 계산할 수 없지만, 수익률 또는 성장률의 기하평균을 하는 경우에는 마이너스 수익을 낸 해가 있어도 계산 가능 합니다.
수익률이 마이너스인 경우에도 (마이너스 100%만 아니라면) 기하평균을 계산할 수 있는데요, 그 이유는 아래 사용 예 단락을 참고하시기 바랍니다.
기하평균 계산법
2개의 수 1과 3의 기하평균(이하 GM)은 \( \sqrt{1 \times 3} \), 3개의 수 1, 3, 5의 GM은 \(\sqrt[3]{1 \times 3 \times 5} \), 4개의 수 1, 3, 5, 7의 GM은 \( \sqrt[4]{1 \times 3 \times 5 \times 7} \)과 같이 계산합니다.
n개의 수 x1, x2,x 3, … , xn에 대한 GM을 계산하는 식은 다음과 같습니다.
\[ \text{GM} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times x_3 \times \ldots \times x_n} \]
nth 루트는 1 ⁄ n 제곱으로도 바꿀 수 있으므로 아래와 같이 표현할 수 도 있습니다.
\[ \text{GM} = (x_1 \times x_2 \times x_3 \times \ldots \times x_n)^{\frac{1}{n}} \]
단, 수익율 이나 성장률의 기하평균을 계산하는 경우는 위 식과 비교하여 (원리는 같지만) 계산 방식은 조금 다르게 보일 수 있습니다. 이에 대해서는 아래 기하평균 계산 예 단락을 참고하세요.
기하평균과 산술평균의 차이
1, 3, 5, 7, 9 라는 다섯 개의 수에 대해 산술평균(Arithmetic Mean: AM)을 계산하면 (1 + 3 + 5 + 7 + 9) ÷ 5 = 5 이고, 기하평균(Geometric Mean: GM)을 계산하면 \( \sqrt[5]{1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9} \doteq 3.94 \)
수학이나 통계에 관심에 없는 사람은 ‘평균’하면 생각하는 것이 ‘산술평균’입니다. 사실 방금 전 든 예에는 기하평균 대신 산술평균을 계산하는 것이 일반적입니다.
그렇다면 어떤 경우에 기하평균을 계산할까요?
1, 3, 9, 27, 81 과 같은 수들에 대해서는 산술 평균 보다 기하평균을 계산하는 것이 더 좋습니다. 1, 3, 9, 27, 81는 앞의 수에 3을 곱한 수들 입니다. ‘1, 1×3=3, 3×3=9, 9×3=27, 27×3=81’ 처럼 앞의 수에 어떤 수들에 대해 기하평균을 계산합니다.
1, 3, 9, 27, 81의 기하평균은 \( \sqrt[5]{1 \times 3 \times 9 \times 27 \times 81} = 9 \) 인데요, 9는 1, 3, 9, 27, 81 의 가운데에 자리하고 있는 것을 확인할 수 있죠.
이처럼 계산하려는 수들이 앞의 수에 어떤 수를 곱한 수들인 경우 기하 평균을 계산하는 것이 일반적인 의미의 ‘평균'(‘중간’)에 잘 어울립니다.
물론, 곱하는 수가 일정하지 않는 경우 계산한 (기하)평균이 정확이 중간에 자리잡는 것은 아닙니다.
기하평균과 산술평균은 둘 다 평균입니다.
차이가 있다면, 계산하려는 수들이 앞의 수에 어떤 수를 더해서 뒤의 수가 되는 경우는 산술 평균이 적당하고, 어떤 수를 곱해서 뒤의 수가 결정되는 수들에 대해서는 기하 평균이 적당하다는 차이가 있을 뿐입니다.
기하평균 사용 예
방금 전 앞의 수에 어떤 수를 곱하여 그 다음 수가 결정되는 수들에 대해서는 기하평균을 계산하는 것이 좋다고 했는데요, 대표적인 예가 복리입니다.
일반적인 복리 계산은 매년 이자율이 같다고 가정하여 계산하는데요, 이때의 복리 이자율을 계산하면 그 것이 바로 기하평균 개념에 의해 계산된 이자율입니다.
그런데 주식 복리 수익률이나 경제성장률처럼 매년의 수익률이 다른 경우도 있죠. 이런 경우에 연 평균 (복리) 수익률(성장률)을 계산하는데 기하평균이 특히 유용합니다.
예를 들어, 100,000 원을 투자하여 첫 해에는 10%, 두 번째 해에는 20% 수익을 얻고, 세 번째 해에는 10% 손실을 본 후 네 번째 해에는 5% 수익, 다섯 번째 해에는 15% 수익을 얻었다면 기하평균을 이용하여 연 평균 얼마의 수익률을 얻었는지 계산할 수 있습니다.
연 평균 수익률(성장률)을 계산하는 방법은 어떻게 보면 앞에서 본 기하평균 계산법과 다른 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 기본 원리는 같습니다.
방금 전의 예를 통해 연평균 수익률을 먼저 계산해 본 후 왜 기하평균 계산 원리와 같은지를 말씀드리겠습니다.
100,000원의 원금이,
- 첫 번째 해는 10% 수익을 올려서 100,000 × (1 + 0.1) = 110,000원,
- 두 번째 해는 20% 수익을 올렸으니 110,000 × (1 + 0.2) = 132,000원,
- 세 번째 해는 10% 손실을 보았으니 132,000 × (1 – 0.1) = 118,800원,
- 네 번째 해는 5% 수익을 올렸으므로 118,800 × (1 + 0.05) = 124,740원,
- 다섯 번째 해는 15% 수익을 올렸으니 124,740 × (1 + 0.15) = 143,451원이 됩니다.
이제 연평균 수익률을 계산하기 위해 각 년도차에 곱하는 수들의 기하평균을 내면 (1.1 × 1.2 × 0.9 × 1.05 × 1.15)1 ⁄ 5 = 1.074832 입니다.
이는 원금 100,000원에 대해 매년 (1.074832 – 1) × 100 = 7.4832%로 5년 동안 수익을 올렸음을 의미합니다. 즉, 100,000 × (1 + 0.074832)5 ≒ 143,451로 방금 전에 본 다섯 번째 해의 최종 원금+수익인 143,451과 같게 됩니다.
보통 기하평균 수익률(연평균 수익률)을 계산할 때 1.1 × 1.2 × 0.9 × 1.05 × 1.15)1 ⁄ 5 – 1 = 0.074832 처럼 1을 빼 주는데, 1을 뺀다는 사실 때문에 기하평균 계산식과 헷갈려 하는 분들이 있습니다.
그러나 이는 (1 + 074832)라는 기하평균을 계산한 후 수익률을 계산하기 위해 1을 빼 준 것에 불과한 만큼 원래의 계산 원리는 그대로 유지되고 있다고 볼 수 있습니다.