아래 최소공배수 계산기 입력 칸에 최소공배수를 계산할 수를 입력하면 계산 결과가 바로 그 아래에 표시됩니다.
각 수는 띄어쓰기 또는 콤마로 구분하여 입력하면 됩니다. 3개 이상의 수에 대한 최소공배수도 계산할 수 있습니다.
목차:
최소공배수란
최소공배수(Least Common Multiple: LCM)는 공통된 배수(공배수) 중 가장 작은 수입니다. 어떤 두 수를 a, b라 하면 약어를 써서 최소공배수는 lcm(a, b)라고 표현합니다.
예를 들어, 18과 42의 최소 공배수는 18과 42의 배수를 각각 나열한 후 공통된 배수를 찾은 후 그 중 제일 작은 수를 확인하면 됩니다.
- 18의 배수: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, …
- 42의 배수: 42, 84, 126, 168, …
- 18과 42의 공통된 배수 이면서 제일 작은 수인 126이 두 수의 최소공배수.
(위 최소공배수 계산기에 ’18 42′ 또는 ’18, 42′ 형식으로 따옴표 없이 입력하면 두 수의 최소공배수가 126임을 바로 확인할 수 있습니다.)
최소공배수 계산법
최소공배수 구하는 법에는 4가지가 있습니다. 첫 번째 방법은 방금 전 본 것과 같이 각 수의 배수를 나열한 후 그 중 최소 공배수를 찾는 것입니다.
그러나 첫 번째 방법은 최소공배수 개념을 이해하는데에는 쓸모가 있지만, 실제 계산법으로 쓰기에는 너무 번거롭습니다. 보통은 3가지 방법 중의 하나를 이용하여 최소공배수를 계산합니다.
1) 공약수를 이용한 나눗셈 방법
최소공배수도 최대공약수를 구하기 위해 공약수로 나누기를 하는 방법을 이용할 수 있습니다. 그런데 최소공배수를 구할 때는 2개의 수에 대한 최소 공배수와 3개 이상의 수에 대한 최소공배수를 구하는 방법에 차이가 있음에 주의해야 합니다.
2개의 수에 대한 최소공배수
먼저 2개의 수에 대한 최소공배수를 구하는 법은 최대공약수를 구하는 것처럼 2개의 수를 동시에 나눌 수 있는 공통된 소수로 나누는 것까지는 똑같습니다.
차이는 최대공약수는 공통된 소수만 곱하여 계산하는 반면, 최소공배수는 공통된 소수 뿐 아니라 나머지 부분까지 모두 곱하여야 합니다.
아래 이미지에서 볼 수 있는 것처럼 18과 42의 최소공배수는 공통된 소수 부분의 곱인 2×3 뿐 아니라 나머지 부분까지 모두 곱하여야 합니다. 즉, 18과 42의 최소공배수는 2×3×3×7=126입니다.
3개 이상의 수에 대한 최소공배수
나눗셈을 이용하여 최대공약수를 계산하는 경우 구하는 대상이 2개이거나 2개 이상일 때나 방법은 동일합니다. 그러나 2개의 수에 대한 최소공배수와 3개 이상의 수에 대한 최소공배수를 구하는 방법에는 약간의 차이가 있습니다.
2개의 수를 대상으로 할 때는 2개의 수를 공통으로 나눌 수 있는 공약수가 없다면 계산을 멈추고 공약수 부분과 나머지를 모두 곱하면 되지만,
3개 이상의 수를 대상으로 할 때는 3개를 공통으로 나눌 수는 없지만 2개는 나눌 수 있다면 이 두 개를 나눈 후 나머지를 기록해야합니다. 이때 나누어 지지 않는 다른 수는 그 수를 그대로 아래로 내리면 됩니다.
아래 이미지를 보면 3개 이상의 경우 어떻게 최소공배수를 구하는 지 확실하게 이해될 것입니다.
한편, 3개 이상의 수에 대하여 최소공배수를 계산할 때 위 이미지에 있는 방법을 쓰지 않고, 먼저 18과 42의 최소공배수 126을 구한 후 126과 68의 최소공배수를 구하는 방식으로 계산해도 됩니다.
참고: 만약, 3개 이상의 수에 대한 최대공약수를 계산한다면 위 이미지처럼 하여 18, 42, 64의 최대공약수는 2×3 이라고 하면 안됩니다. 최대공약수 계산은 2개의 수나 3개 이상의 수를 구별하지 않고 동일합니다. 따라서, 18, 42, 64에 대한 최대공약수는 첫 단계의 2외에는 공약수가 없기 때문에 최대공약수는 2입니다.
참고: 최대공약수 계산기
2) 소인수분해를 이용하는 법
소인수분해를 이용하는 경우 2개의 수든 3개 이상의 수든 적용하는 법은 똑 같습니다. 18, 42, 68 세 수에 대하여 소인수분해를 이용하여 최소공배수 구하는 법은 먼저 각 수를 소인수 분해 하는 것에서 출발합니다.
- 18을 소인수분해하면: 2 × 32,
- 42를 소인수분해하면: 2 × 3 × 7,
- 68을 소인수분해하면: 22 × 17,
위 세 수의 최소공배수는,
- 먼저, 각 수에 공통으로 들어가는 소인수와 해당 수에만 있는 소인수를 모두 고른 후,
- 두 수 또는 세 수에 공통으로 들어가는 소인수는 지수가 가장 높은 것을 선택하여 모두 곱한다.
- 따라서 최소공배수 = 22 × 32 × 7 × 17 = 4284
3) 최대공약수를 이용하는 법
어떤 두 수를 a, b라 하고 두 수의 최대공약수를 gcd(a, b), 최소공배수를 lcm(a, b)라 하면 다음과 같은 관계가 성립합니다.
$$ a \times b = gcd(a, b) \times lcm(a, b) $$
따라서 어떤 두 수의 최대공약수를 알고 있다면 최소공배수는 자동으로 구할 수 있게 됩니다.
$$ lcm(a, b) = \frac{a \times b}{gcd(a, b)} $$
즉, 두 수를 곱한 후 이를 두 수의 최대공약수로 나누어 최소공배수를 계산할 수 있습니다. 단, 이런 방법으로 최소공배수를 구하는 방법은 두 수에 대해서만 적용할 수 있습니다. 3개 이상의 수에 대해서는 이 공식을 적용할 수 없습니다.
지금까지 최소공배수란 무엇이고 최소공배수 구하는 법에 대해 알아보았습니다. 보통, 나눗셈을 이용하거나 소인수분해를 이용하는 방법으로 구하게 됩니다.
그런데, 어떤 방법은 쓰든 최소공배수는 계산하기가 좀 번거롭습니다. 이럴 때 또는 자신이 계산한 결과가 맞는 지 확인할 때 위에 있는 최소공배수를 이용하면 편리합니다.