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조합 계산기 사용시 주의할 점
조합 계산은 팩토리얼(factorial, 계승)을 포함합니다. n!에서 n이 조금만 커져도 n! 값은 기하급수적으로 커집니다.
예를 들어, 100!의 정확한 값은 다음과 같습니다.
93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000
조합 계산기는 자바스크립트를 기반으로 하고 있는데요, 자바스크립트는 이처럼 큰 수를 제대로 계산하지 못합니다. 메모리 문제도 있고요.
해서, n에 해당하는 수는 170(중복 조합의 경우 n과 r을 더한 수치로 171)이 한계라는 점 참고하시기 바랍니다.
참고: 171! 이상의 팩토리얼 실제 수치를 확인하려면 팩토리얼 계산기를 이용하세요.
조합 이란?
조합은 ‘서로 다른 n개에서 r개를 선택’한다는 점에서 순열과 같지만 순서를 고려하지 않는다는 점에서 순열과 차이가 있습니다.
조합은 영어의 combination에서 C를 따서 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 뽑는 선택의 경우의 수를 \( _{n}C_{r} \)와 같이 표시합니다.
조합 계산법
조합 계산은 순열 계산의 연장선에서 생각할 수 있습니다.
즉, 조합은 순서를 고려하지 않으므로, 순서를 고려한 순열을 선택한 r개를 일렬로 나열하는 순열로 나눈 것이라고 생각할 수 있습니다. 예를 들어, 서로 다른 5개의 카드에서 3개의 카드를 뽑는 조합은 5P3을 3P3으로 나눈 값과 같습니다.
왜냐하면 5P3은 3개를 뽑아서 3개를 일렬로 나열한 것이니 3개를 일렬로 나열하는 부분을 없애주면 조합이 되는데, 서로 곱하는 것을 없애려면 나누어 주면 되기 때문입니다.
예를 들어, A, B, C, D, E 라는 5개의 카드가 들어 있는 주머니에서 3개를 선택하는 조합을 계산하는 다음과 같이 계산하면 됩니다.
$$ _{5}C_{3} = \frac{_{5}P_{3}}{_{3}P_{3}} = 10 $$
조합 공식
조합 공식은 보통 아래의 공식을 많이 씁니다.
$$_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} $$
그런데, 위 공식은 아래 공식에서 도출된 것입니다. 즉, nPr 을 rPr 로 나누어 주면 위의 공식이 도출됩니다.
따라서 조합 공식은 아래의 것을 이용해도 됩니다.
$$ _{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{_{r}P_{r}} $$
한편, \( _{r}P_{r} \)은 r!과 같으므로 아래와 같이 생각해도 됩니다.
$$ _{n}C_{r} = \frac{_{n}P_{r}}{r!} $$
중복 조합이란?
순열과 중복 순열의 차이는 반복을 허용하지 않느냐 아니면 허용하느냐의 차이인 것처럼 중복 조합도 조합이긴 하되 반복해서 선택될 수 있도록 하는 선택 방법이라고 할 수 있습니다. 중복 조합 공식은 다음과 같습니다.
$$ _{n}H_{r} = _{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} $$
중복 조합의 공식이 도출된 과정을 이해하려면 약간의 스킬이 필요한데요, 이에 대해서는 중복 조합 idea를 참고 하시기 바랍니다.
순열 계산기도 이용해 보세요.