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순열 계산기

순열/중복 순열 계산기

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순열이란?

순열(permutation)은 예를 들어, 각기 다른 색깔의 구슬 6개가 들어 있는 주머니에서 3개를 선택해서 순서대로 나열하는 방법은 총 몇 가지 인가를 계산하는 것입니다.

기호로는 6P3 라고 표시합니다. 만약 10개의 서로 다른 구슬 중에서 6개를 꺼내 순서대로 배열한다면 10P6 라고 표시하게 되죠.

일반화 시켜서 순열을 정의한다면, 순열은 ‘서로 다른 n개가 속해 있는 집합에서 r개를 뽑아 순서대로 나열하는 방법의 수’ 라고 할 수 있습니다. 기호로는 nPr 라고 표시합니다.

순열에서 중요한 것은 순서를 고려한다는 것입니다. 이는 빨간색, 주황색, 노랑색, 초록색, 파랑색, 보라색의 구슬이 들어 있는 주머니에서 3개를 꺼내 배열할 때 빨간색 → 주황색 → 노랑색 순서로 뽑는 방법과 주황색 → 빨간색 → 파랑색 순으로 뽑은 방법은 다른 방법이라는 의미입니다.

순열 계산하는 법

방금 전에 예로 든 문제를 풀면서 순열 계산 방법에 대해 알아 보겠습니다.

순서를 고려해야 하니 한꺼번에 3개를 꺼낸다고 생각하지 말고, 주머니에서 첫 번째 구슬을 꺼내고 그 다음 두 번째 구슬을 꺼낸 후 마지막 3번 째 구슬을 꺼낸다고 생각하기로 합시다.

(한꺼번에 3개를 꺼내서 이를 순서대로 배열하면 결국 같아지지만, 순서대로 3번에 걸쳐 꺼낸다고 생각하는 것이 순열 개념을 이해하기 편합니다.)

순서대로 3번에 걸쳐 꺼낸다면,

  • 첫 번째 구슬을 선택할 수 있는 방법은 6가지 입니다. (주머니 안에 6개의 구슬이 들어있으니까요.)
  • 두 번째 구슬을 선택할 수 있는 방법은 5가지 입니다. (첫 번째 구슬을 꺼냈으므로 주머니안에서 5개의 구슬이 들어 있기 때문입니다.)
  • 마지막 구슬을 선택할 수 있는 방법은 4가지 입니다. (주머니 안에는 4개의 구슬만 들어 있으니까요.)

이제 경우의 수를 계산하는 방법을 떠올리면 순열 계산을 마무리 지을 수 있습니다. 첫 번째 구슬을 꺼내는 6가지 방법 각각에 대해 두 번째 구슬을 꺼내는 방법은 5가지 이므로 두 번째 구슬까지 선택하는 경우의 수는 총 (6×5)30 가지입니다. 이 30가지 방법 각각에 대해 세 번째 구슬을 꺼내는 방법이 4가지 있으므로 마지막 단계까지 고려한 총 경우의 수는 (30×4) 120 가지 입니다.

따라서, 6P3을 계산하는 방법은 ‘첫 번째를 선택하는 방법의 개수’ × ‘두 번째를 선택하는 방법의 개수’ × ‘세 번째를 선택하는 방법의 개수’입니다.

즉, 6P3 = 6 × 5 × 4 = 60 입니다.

순열 계산 공식

그런데, 6P3처럼 전체 개수와 선택하는 개수가 작은 경우는 어디서부터 어디까지 곱해야 하는 지 금방 알 수 있지만, 개수가 커지는 경우 어디서부터는 바로 알 수 있지만 어디까지 곱해야 하는 지는 알기 힘듭니다.

그러나 처음에는 눈에 잘 들어오지 않지만, 작은 수를 위주로 순열 계산을 몇 번 해보면 눈에 들어 옵니다. 예를 들어 5P2= 5 × 4 이고, 8P5 = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 인데요,

5P2의 경우 5에서 시작하여 곱하는 항의 개수는 2개, 8P5의 경우 8에서 시작하여 곱하는 항의 개수는 5개라는 것을 알 수 있습니다.

일반화 시킨 식 nPr의 경우는 n에서 시작하여 항의 개수가 r개가 되도록 곱하면 된다고 유추할 수 있습니다.

한 가지 더 발견할 수 있는 법칙이 있는데요, 5P2에서 마지막으로 곱하는 수 4는 (5-2+1) 이고, 8P5에서 마지막 곱 수 4는 (8-5+1)라는 법칙입니다.

즉, nPr은 n에서 시작하여 n-r+1 까지 곱하면 되는 것입니다. nPr = n × (n-1) × (n-2) × … ×(n-r+1).

여기서 순열 공식을 도출하기 위해서는 약간의 아이디어가 필요한데요, n × (n-1) × (n-2) × … ×(n-r+1)은 n!을 (n-r)!로 나눈 것과 같다는 사실을 발견하는 것입니다.

n!에서 !은 팩토리얼(계승) 기호입니다. 위에서 아래로 계속에서 곱한다는 것을 표시해 주는 기호인데요, 3 × 2 × 1 라고 일일이 다 쓰는 대신 3!로 간단하게 표시할 수 있습니다.

n!을 (n-r)!로 나누면 n × (n-1) × (n-2) × … ×(n-r+1)이 되기 때문에 순열 계산 공식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

순열 계산 공식:

\[ _{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \]

순열 계산기는 위의 공식을 적용하여 순열을 계산하는데요, 예를 들어 5P3 이라는 순열은 \( \frac{5!}{(5-3)!} \)로 표시할 수 있습니다.

중복 순열 뜻과 공식

지금까지는 일반적인 순열(직순열) 즉, 서로 다른 구슬이 들어 있는 주머니에서 구슬을 꺼내는 선택을 할 때 한 번 꺼낸 구슬을 다시 주머니에 넣지 않고 배열하는 방법의 수를 알아 보는 것이었습니다.

그런데, 만약 주머니에서 구슬을 꺼내서 기록한 후 꺼낸 구슬을 다시 주머니에 넣은 후 2번째 구슬을 선택하고, 또 다시 선택한 구슬을 주머니에 넣은 후 다음 번 구슬을 선택하게 한다면, 앞의 순열 공식을 적용할 수 없게 됩니다.

선택한 구슬을 다시 주머니에 넣어서 다음 번 선택을 하게 하여 배열하는 방법은 앞에서 본 순열(직순열)과 순서대로 배열한다는 점은 같지만, 한 번 꺼낸 구슬이 다시 중복 해서 선택될 수 있다는 차이가 있습니다.

이와 같이 선택해서 배열하는 방법을 중복을 허용해서 선택할 수 있다는 점에서 중복 순열이라고 합니다.

1부터 9까지 9개의 자연수로 두 자리 수를 만드는 방법의 개수를 구하는 문제는 중복 순열의 예입니다. 두 자리 수만 만들면 되기 때문에 11도 되고 33도 되므로 중복을 허용해서 9개의 자연 수 중 2개를 선택하여 배열하는 것과 같기 때문입니다.

이 경우 10의 자리로 들어 갈 수 있는 자연수는 9가지가 있고, 1의 자리로 들어갈 수 있는 자연수도 9가지가 있으므로 두 자리 수를 만드는 방법은 총 81(9×9=92)가지가 있다는 것을 알 수 있습니다.

두 자리 수가 아니라 세 자리 수를 만드는 방법은 몇 가지가 있을까요?

100의 자리에 들어 갈 수 있는 수는 9개, 10의 자리에 들어갈 수 있는 수도 9개, 1의 자리에 들어갈 수 있는 수도 9개이므로, 총 9×9×9=93=729가지 방법이 있습니다.

중복 순열은 Π(파이)기호를 써서 9Π3와 같이 표시합니다. 9Π3는 93 이므로 중복 순열 공식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

\[ _{n}\Pi_{r} = n^r \]