자연로그 계산기: 자연 상수 e의 의미와 자연로그의 의미

자연로그 계산기

자연로그 계산기는 자연로그 값을 계산해 줍니다. 자연로그 ln(x)에서 x에 해당하는 숫자를 입력하면 됩니다.

자연 로그(natural logarithm)의 라틴 이름은 logarithm naturali 인데요, 이를 줄여서 ln이라고 합니다. 자연로그는 자연 상수 e를 밑(base)으로 하는 로그(log)입니다.

자연 상수 e는 어떤 대상이 얼마 만큼 성장했는지를 알려 주는 수라면, 자연로그는 그 성장을 이루기 위해 얼마의 시간(또는 기간)이 필요한 지를 계산하는 것이라고 볼 수 있습니다.

자연 상수 e의 의미와 자연 상수 e와 자연 로그의 관계를 이해하면, 자연 로그 값이 왜 성장을 달성하기 위한 시간(기간)을 알려 주는 지 이유를 알 수 있는데요, 먼저 자연 상수 e의 의미에 대해 알아 보겠습니다.

자연상수 e란

자연상수(natural constant) e는 2.718281828459045… 이란 숫자입니다. 파이(π)처럼 소수점 아래에 끝이 없는 무리수죠.

e가 어떤 의미가 있는지 이해하는 데에는 다음과 같은 비현실적인 문제를 푸는 것이 도움이 됩니다.

자연상수 e 도출하기

문제:

어떤 은행이 1년 만기 복리 예금을 내놓았습니다. 금리는 연100%입니다. 더 나아가서 이자는 복리로 계산해서 지급합니다. 여기서 한 번 더 나아가서, 매월도 아니고 매일도 아니라 ‘가능한 최대한의 횟수’로 복리를 적용합니다.

‘가능한 최대한의 횟수’로 복리를 적용하면 1년이 되었을 때 원금은 몇 배가 되었을까요?

이 문제의 답은 e배 입니다. 왜 그런지 알아볼까요?

1년 동안 한 번만 복리 적용을 한다면 원금은 (1+100%), 즉 2배로 늘어납니다. 100%는 1과 같으니까 지금부터는 100% 대신 1을 쓰겠습니다.

만약, 6개월에 한 번씩 복리 적용을 하면 (1 + 1/2)²=2.25배로 늘어납니다. 분기별로 3번 복리를 적용하면 (1+1/3)³=2.37047배로 늘어나죠. 이런 식으로 복리 적용 횟수를 10회, 100회, 1,000회,…, 와 같이 늘려갈 때 원금이 몇 배가 되는지를 표로 정리하면 다음과 같습니다.

자연상수 e의 의미

1년 동안 1,000,000번 복리를 적용한다는 것은 현실적으로 불가능한 일이지만, 지금 우리는 자연 상수 e가 대체 어떤 수인지를 이해하기 위해 1년에 백 번 복리를 적용해 주는 곳도 있다고 가정하기로 합니다.

이번에는 복리 적용을 백 번 해 주는 데에서 좀 더 나아가서는 눈 깜짝할 사이에도 복리를 적용한다고 가정해 봅시다. 이처럼 무한정 계속해서 복리를 적용한다는 것을 ‘연속 복리’라고 합니다.

위 표에서 알 수 있는 것은 복리 적용 횟수를 무한대로 끓임 없이 늘려서 연속 복리를 적용하면 원금이 ‘몇 배’로 늘어나는가에 해당하는 그 ‘몇 배’는 2.7182에 가까운 어떤 수에 가까워 진다는 것입니다.

바로 가까워 지는 이 수(number)를 자연 상수 e라고 합니다(그냥 e라고 부르기로 한 거에요). e를 수식으로 표현하면 다음과 같으니 참고만 하세요.

자연 상수 e는 한 단위 기간 동안 100% 복리로 연속해서 증가하는 경우 단위 기간이 끝났을 때 몇 배가 증가하는지를 보여 주는 수입니다.

1 단위 기간, 이자율 100%가 아닌 경우에도 e를 적용할 수 있을까?

그런데 100% 이자율로 2년 동안 연속 복리로 증가한다면 원금은 2년 뒤 얼마가 될까요?

자연 상수 e의 뜻을 기억하면 2년 뒤 몇 배 증가하는가를 계산하는데 e를 바로 이용할 수 없습니다. 왜냐하면 e는 한 단위 기간을 대상으로 하는 수치이기 때문입니다.

그런데 약간만 상황을 변경 시키면 2년이란 단위 기간에도 e를 활용할 수 있는 방법이 있습니다.

2년 동안 100% 연속 복리로 증가하는 것은 1년 동안 200% 연속 복리로 증가한 것과 같잖아요.

1년 동안 100% 연속 복리를 적용할 때 원금이 e¹배 증가하는 것이니, 1년 동안 200% 연속 복리를 적용하면 원금은 e²배 증가할 것입니다.

따라서 방금 전 2년 동안 100%는 1년 동안 200%와 같다는 사실을 기억하면, 2년 동안 100% 연속 복리를 적용하면 원금은 e²가 된다고 정리할 수 있습니다.

방금 전 정리한 내용을 일반화 시키면 e²는 사실은 e^{기간×이자율}이라고 할 수 있습니다. 좀 전의 예는 기간이 2이고, 이자율이(1=100%) 이었던 것입니다.

e^{기간×이자율}를 가지고 몇 가지 예에 적용해 볼까요?

• 100% 연속 복리로 4년이 지나면 = e^4×1 = e⁴
• 50% 연속 복리로 1년이 지나면 = e^1×0.5 = e^0.5
• 30% 연속 복리로 3년이 지나면 = e^3×0.3 = e^0.9

자연상수 e는 복리에만 적용되는 것은 아닙니다. 복리라는 것도 사실은 일정 비율의 성장률로 일정 간 동안 복리로 성장하면 몇 배가 되는 가를 의미하는 것이므로 자연 상수 e는 증가 또는 성장을 다루는 영역에까지 활용할 수 있습니다.

사실 e^{기간×이자율} , e^{기간×성장률} 은 이자율을 성장률로 바꾸었을 뿐 둘 다 같은 수식입니다.

e^x와 자연로그의 관계를 통해 자연로그 값의 의미 이해하기

e^x=k 라는 지수 식을 자연로그 식으로 표현하면 ln(k)=x 입니다. (ln(k)에서 괄호는 생략하고 ln k 로 표현하는 경우가 많습니다.)

e^x=k에서 x는 (기간×성장률)을 의미하고, k는 성장한 결과 k 배(倍)가 되었다는 것을 의미합니다.

지수 식은 로그 식으로 바꿀 수 있으니 e^x=k 는 ln(k)=x로 변환할 수 있습니다. 자연로그 ln(k)는 k 배(倍)로 성장하기 위해 필요한 (기간×성장률)x 를 의미합니다.

요약:

자연로그 계산기를 통해 계산된 값은 예를 들어 e^x에서 x를 구하는 것입니다. 그리고 이때 x는 (기간×성장률)을 의미합니다.

예를 들어 e^x=10 일 때 이를 자연로그 식으로 표시하면 x=ln(10)이 되는데요, x=ln(10)을 통해 계산되는 자연로그 값은 어떤 물질(또는 대상)이 10배로 늘어나기까지 필요한 (기간×성장률)을 의미합니다.

간단하게 정리해서 e^x는 성장과 관련된 개념이고 ln(k)는 k배가 되기까지 걸리는 기간(또는 시간)과 관련된 개념입니다.