순열 계산기

목차:

• 순열이란?
• 순열 계산하는 법
• 순열 계산 공식
• 중복 순열 뜻과 공식

순열이란?

순열(permutation)은 예를 들어, 각기 다른 색깔의 구슬 6개가 들어 있는 주머니에서 3개를 선택해서 순서대로 나열하는 방법은 총 몇 가지 인가를 계산하는 것입니다.

기호로는 ₆P₃ 라고 표시합니다. 만약 10개의 서로 다른 구슬 중에서 6개를 꺼내 순서대로 배열한다면 ₁₀P₆ 라고 표시하게 되죠.

일반화 시켜서 순열을 정의한다면, 순열은 ‘서로 다른 n개가 속해 있는 집합에서 r개를 뽑아 순서대로 나열하는 방법의 수’ 라고 할 수 있습니다. 기호로는 _nP_r 라고 표시합니다.

순열에서 중요한 것은 순서를 고려한다는 것입니다. 이는 빨간색, 주황색, 노랑색, 초록색, 파랑색, 보라색의 구슬이 들어 있는 주머니에서 3개를 꺼내 배열할 때 빨간색 → 주황색 → 노랑색 순서로 뽑는 방법과 주황색 → 빨간색 → 파랑색 순으로 뽑은 방법은 다른 방법이라는 의미입니다.

순열 계산하는 법

방금 전에 예로 든 문제를 풀면서 순열 계산 방법에 대해 알아 보겠습니다.

순서를 고려해야 하니 한꺼번에 3개를 꺼낸다고 생각하지 말고, 주머니에서 첫 번째 구슬을 꺼내고 그 다음 두 번째 구슬을 꺼낸 후 마지막 3번 째 구슬을 꺼낸다고 생각하기로 합시다.

(한꺼번에 3개를 꺼내서 이를 순서대로 배열하면 결국 같아지지만, 순서대로 3번에 걸쳐 꺼낸다고 생각하는 것이 순열 개념을 이해하기 편합니다.)

순서대로 3번에 걸쳐 꺼낸다면,

• 첫 번째 구슬을 선택할 수 있는 방법은 6가지 입니다. (주머니 안에 6개의 구슬이 들어있으니까요.)
• 두 번째 구슬을 선택할 수 있는 방법은 5가지 입니다. (첫 번째 구슬을 꺼냈으므로 주머니안에서 5개의 구슬이 들어 있기 때문입니다.)
• 마지막 구슬을 선택할 수 있는 방법은 4가지 입니다. (주머니 안에는 4개의 구슬만 들어 있으니까요.)

이제 경우의 수를 계산하는 방법을 떠올리면 순열 계산을 마무리 지을 수 있습니다. 첫 번째 구슬을 꺼내는 6가지 방법 각각에 대해 두 번째 구슬을 꺼내는 방법은 5가지 이므로 두 번째 구슬까지 선택하는 경우의 수는 총 (6×5)30 가지입니다. 이 30가지 방법 각각에 대해 세 번째 구슬을 꺼내는 방법이 4가지 있으므로 마지막 단계까지 고려한 총 경우의 수는 (30×4) 120 가지 입니다.

따라서, ₆P₃을 계산하는 방법은 ‘첫 번째를 선택하는 방법의 개수’ × ‘두 번째를 선택하는 방법의 개수’ × ‘세 번째를 선택하는 방법의 개수’입니다.

즉, ₆P₃ = 6 × 5 × 4 = 60 입니다.

순열 계산 공식

그런데, ₆P₃처럼 전체 개수와 선택하는 개수가 작은 경우는 어디서부터 어디까지 곱해야 하는 지 금방 알 수 있지만, 개수가 커지는 경우 어디서부터는 바로 알 수 있지만 어디까지 곱해야 하는 지는 알기 힘듭니다.

그러나 처음에는 눈에 잘 들어오지 않지만, 작은 수를 위주로 순열 계산을 몇 번 해보면 눈에 들어 옵니다. 예를 들어 ₅P₂= 5 × 4 이고, ₈P₅ = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 인데요,

₅P₂의 경우 5에서 시작하여 곱하는 항의 개수는 2개, ₈P₅의 경우 8에서 시작하여 곱하는 항의 개수는 5개라는 것을 알 수 있습니다.

일반화 시킨 식 _nP_r의 경우는 n에서 시작하여 항의 개수가 r개가 되도록 곱하면 된다고 유추할 수 있습니다.

한 가지 더 발견할 수 있는 법칙이 있는데요, ₅P₂에서 마지막으로 곱하는 수 4는 (5-2+1) 이고, ₈P₅에서 마지막 곱 수 4는 (8-5+1)라는 법칙입니다.

즉, _nP_r은 n에서 시작하여 n-r+1 까지 곱하면 되는 것입니다. _nP_r = n × (n-1) × (n-2) × … ×(n-r+1).

여기서 순열 공식을 도출하기 위해서는 약간의 아이디어가 필요한데요, n × (n-1) × (n-2) × … ×(n-r+1)은 n!을 (n-r)!로 나눈 것과 같다는 사실을 발견하는 것입니다.

n!에서 !은 팩토리얼(계승) 기호입니다. 위에서 아래로 계속에서 곱한다는 것을 표시해 주는 기호인데요, 3 × 2 × 1 라고 일일이 다 쓰는 대신 3!로 간단하게 표시할 수 있습니다.

n!을 (n-r)!로 나누면 n × (n-1) × (n-2) × … ×(n-r+1)이 되기 때문에 순열 계산 공식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

순열 계산 공식:

\[ _{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!} \]

순열 계산기는 위의 공식을 적용하여 순열을 계산하는데요, 예를 들어 ₅P₃ 이라는 순열은 \( \frac{5!}{(5-3)!} \)로 표시할 수 있습니다.

중복 순열 뜻과 공식

지금까지는 일반적인 순열(직순열) 즉, 서로 다른 구슬이 들어 있는 주머니에서 구슬을 꺼내는 선택을 할 때 한 번 꺼낸 구슬을 다시 주머니에 넣지 않고 배열하는 방법의 수를 알아 보는 것이었습니다.

그런데, 만약 주머니에서 구슬을 꺼내서 기록한 후 꺼낸 구슬을 다시 주머니에 넣은 후 2번째 구슬을 선택하고, 또 다시 선택한 구슬을 주머니에 넣은 후 다음 번 구슬을 선택하게 한다면, 앞의 순열 공식을 적용할 수 없게 됩니다.

선택한 구슬을 다시 주머니에 넣어서 다음 번 선택을 하게 하여 배열하는 방법은 앞에서 본 순열(직순열)과 순서대로 배열한다는 점은 같지만, 한 번 꺼낸 구슬이 다시 중복 해서 선택될 수 있다는 차이가 있습니다.

이와 같이 선택해서 배열하는 방법을 중복을 허용해서 선택할 수 있다는 점에서 중복 순열이라고 합니다.

1부터 9까지 9개의 자연수로 두 자리 수를 만드는 방법의 개수를 구하는 문제는 중복 순열의 예입니다. 두 자리 수만 만들면 되기 때문에 11도 되고 33도 되므로 중복을 허용해서 9개의 자연 수 중 2개를 선택하여 배열하는 것과 같기 때문입니다.

이 경우 10의 자리로 들어 갈 수 있는 자연수는 9가지가 있고, 1의 자리로 들어갈 수 있는 자연수도 9가지가 있으므로 두 자리 수를 만드는 방법은 총 81(9×9=9²)가지가 있다는 것을 알 수 있습니다.

두 자리 수가 아니라 세 자리 수를 만드는 방법은 몇 가지가 있을까요?

100의 자리에 들어 갈 수 있는 수는 9개, 10의 자리에 들어갈 수 있는 수도 9개, 1의 자리에 들어갈 수 있는 수도 9개이므로, 총 9×9×9=9³=729가지 방법이 있습니다.

중복 순열은 Π(파이)기호를 써서 ₉Π₃와 같이 표시합니다. ₉Π₃는 9³ 이므로 중복 순열 공식은 다음과 같이 표시할 수 있습니다.

\[ _{n}\Pi_{r} = n^r \]