매월 초 또는 매월 말 동일한 금액을 적립하는 경우 적립 기간 말까지의 복리 이자 원금이 얼마나 불어나는지를 계산합니다.
매년 초 또는 매년 말 적립하는 경우도 계산할 수 있습니다. (이 경우 적립액 칸 아래에서 ‘연 복리’를 선택하면 됩니다.)
한 번의 예치금에 대한 복리 계산은 복리 계산기를 이용하세요.
목차:
적립식 복리란?
단리는 이자가 붙는 기간 동안 원금에만 이자가 붙지만, 복리는 원금에 이자가 붙어 늘어난 원리금에 이자가 붙습니다.
여기서 복리는 은행에 예금을 예치하는 경우처럼 한 번의 예치 금액에 복리로 이자가 붙는 것을 가정합니다.
그런데 은행에서 판매하는 상품에 예금만 있는 것은 아닙니다. 적금도 있습니다. 적금은 예금과 달리 만기까지 매월 일정 금액을 적립합니다.
적립식 복리란 적금처럼 매월/매년 일정 금액을 적립하는 적립액에 붙는 복리입니다.
단리가 적용되는 경우에도 예금 이자를 계산하는 법과 적금 이자를 계산하는 법이 다른 것처럼 복리를 적용하는 경우 한 번의 예치금에 대한 복리를 계산하는 법과 적립식 복리의 복리 계산법은 다릅니다.
적립식 복리 이자와 원리합계 금액 계산하는 법
적립식 복리에서 복리 이자는 총 적립액의 최총 가치(이를 원리합계라고 합니다.)에서 총 적립액을 빼서 계산합니다. 즉 원리합계 금액을 먼저 구한 후 부수적으로 복리 이자를 계산하게 되는 것입니다.
물론 복리 이자를 먼저 구하든 원리합계 금액을 먼저 구하든 결국은 두 가지 답을 모두 얻을 수 있기 때문에 어느 것을 먼저 구하든 아무 상관이 없을 수도 있습니다.
그러나 원리합계 금액을 먼저 구하는 데는 그럴만한 이유가 있습니다. 복리 이자를 바로 계산할 수는 없지만 원리합계 금액은 바로 계산할 수 있는 공식이 있기 때문입니다.
그런데 이 공식을 이용하려면 한 가지 전제 조건을 이해해야 합니다. 적립액을 매월 초에 하느냐 아니면 매월 말에 하느냐에 따라 원리합계 금액이 달라진다는 사실입니다.
적립식 월복리 계산 방법은 매년 적립하는 경우를 먼저 이해한 후 이를 월 적립 계산 방법으로 진행하는 것이 이해하기 쉽습니다. 이런 이유로 매년 초에 적립하는 경우와 매년 말에 적립하는 경우를 먼저 설명 하도록 하겠습니다.
매년 초 적립하는 적립식 복리
아주 간단한 적립식 복리 원리합계 계산 문제를 풀어 본 후 문제의 답을 통해 공식을 도출하기로 하겠습니다.
문제를 간단하게 하면 공식은 의외로 쉽게 도출됩니다.
“매년 초에 100원씩 3년 적립할 때 매년 10%로 복리 이자가 붙는다면 3년차 말의 원리합계 금액은 얼마인가?”
적립액은 100원, 연 이자율은 10%, 적립 기간은 3년, 적립 시점은 매년 초입니다. 이 문제를 풀려면 각 적립액이 3년차 말에 얼마로 불어나는 지를 계산한 후 이를 모두 더하면 됩니다.
1년차 초에 적립하는 100원에는 3년간 복리 이자가 붙으므로 3년차 말의 원리 합계 금액은 100×(1+0.1)3 입니다.
2년차 초에 적립하는 100원에는 2년간 복리 이자가 붙습니다. 따라서 3년차 말에는 100×(1+0.1)2가 됩니다.
3년차 초 적립액 100원에는 3녀차 말까지 1년간의 복리 이자가 붙으므로 3년차 말에는 100×(1+0.1)1로 불어납니다.
적립액 100원, 이자율 10%, 적립 기간 3회에 대한 적립식 복리 문제의 답은 각 년차 초에 적립한 적립액들의 3년차 말 원리합계를 모두 더한 것인데요, 3년차 말 각 회차 적립액들의 원리합계는 다음과 같습니다.
100×(1+0.1)1 + 100×(1+0.1)2 + 100×(1+0.1)3
매년 초 적립식 복리 원리합계 계산 공식
3번의 적립액 각각의 적립 기간 말 원리합계를 계산한 후 이를 모두 더한 것이 방금 전 문제의 답인데요, 위에 식으로 정리되어 있습니다.
그런데 위 식에서 100은 매년 초 적립액, 0.1은 연 이자율, 3은 적립 연(年) 수이므로 이를 이용하여 앞 문제의 답을 표시하면 다음과 같아집니다.
적립액×(1+연이자율)1 + 적립액×(1+연이자율)2 + 적립액×(1+연이자율)적립연수
만약, 3년간 적립하는 것이 아니라 10년간 적립하는 것이라면, 원리합계를 구하는 식은 아래와 같기 표시할 수 있을 것입니다.
적립액×(1+연이자율)1 + 적립액×(1+ 연이자율)2 + 적립액×(1+연이자율)3 + … + 적립액×(1+연이자율)10
위 식에는 일정한 규칙이 있는데요, 이 규칙을 뜯어보면 초항이 적립액×(1+연이자율), 이자율이 (1+연이자율), 항의 개수가 적립 연수 만큼인 등비수열의 합과 같다는 것을 확인할 수 있습니다. 따라서 원리합계 금액은 등비수열의 합 공식을 이용하면 됩니다.
초항이 a, 이자율이 r, 항의 개수가 n개인 등비수열의 합 공식은 a(rn-1)/(r-1)인데요, a에 적립액×(1+연이자율), r에 (1+연이자율), n에 적립연수를 대입하면 다음과 같은 공식이 만들어 집니다.
매년 초 적립식 복리 원리합계:
적립액×(1+연이자율)×{(1+연이자율)적립연수 -1}/연이자율
위 공식을 이용하여 앞 단락에 있던 문제의 답을 구하면 100×(1+0.1){(1+0.1)3-1}/0.1 = 364.1이 돕니다.
적립식 복리 계산기도 위 공식을 이용하여 원리합계 금액을 구합니다. 단, 소수점 이하는 반올림하기 때문에 364로 답을 구하게 됩니다.
매년 말 적립식 복리 원리합계 계산 공식
적립식 복리 계산 문제에는 한 가지 고려할 사항이 있는데요, 각 년도 초에 적립하는가 아니면 각 년도 말에 적립하는가에 관한 사항입니다.
이를 고려하는 이유는 초에 적립하는가 아니면 말에 적립하는가에 따라 원리합계 금액이 달라지기 때문인데요, 이는 당연합니다. 이자가 붙는 기간이 달라지니까요.
앞에서 본 문제, 적립연수 3년, 연 이자율 10%, 적립액 100원에서 매년 초가 아니라 매년 말에 적립한다고 하면, 각 적립액의 3년차 말 원리합계 금액은 다음과 같습니다.
- 1년차 말 적립액: 100×(1+0.1)2
- 2년차 말 적립액:100×(1+0.1)1
- 3년차 말 적립액: 100, 매년 말에 적립하기 때문에 마지막 회차 말에 적립하는 적립액에는 이자가 붙지 않습니다.
이제 매년 말에 적립하는 경우의 원리합계 금액을 정리하면 다음과 같습니다.
100 + 100×(1+0.1)1 + 100×(1+0.1)2
위 식을 매년 초 적립식 복리 원리합계 공식을 도출할 때처럼 일반화시키면 초항이 적립액, 공비가 (1+연이자율), 항의 개수가 적립연수 개인 등비수열의 합과 같아집니다. 등비수열의 합 공식을 이용하면 다음과 같은 공식을 도출할 수 있습니다.
매 회차 말 적립식 복리 원리합계:
적립액×{(1+연이자율)적립연수 -1}/연이자율
적립식 월복리 계산기 = 적립식 원리합계 계산기 = 연금 미래가치 계산기
적립식 월복리 계산기는 적립식 원리합계 계산기로도 사용가능합니다. 적립식 복리에서 계산하는 것은 결국 적립식 원리합계 금액이니 다를 것이 없습니다.
적립식 복리 계산기는 연금 미래가치 계산기로도 이용가능합니다.
연금의 미래가치 문제는 매회차 초 또는 매회차 말에 받는 연금의 일정 시점 후의 미래가치를 구하는 문제인데요, 적립하는 것이나 연금으로 받는 것이나 사실상 같고, 재무관리에서 미래가치는 복리를 적용하여 계산하기 때문에 연금의 미래가치 계산은 적립식 복리의 원리합계 금액을 구하는 것과 같습니다.
적립식 복리 계산기를 연금 미래가치 계산에 이용한다면, 다음과 같이 하면 됩니다.
예를 들어, 매년 말 1,000,000만 원씩 연금을 받고, 인플레이션 율이 3%일 때 10년 후의 미래가치는 얼마인가를 계산하려면, 위 적립식 복리 계산기의 적립액에 1,000,000, 연복리/월복리 선택에서 ‘연복리’ 선택, 매 회차 초/말 선택에서 ‘매 회차 초’를 선택한 후, 연 이자율에 3, 적립 연수에 10을 입력하면 됩니다.
적립식 월복리 계산기 사용법
계산을 위해 필요한 정보는 5가지 입니다.
- 적립액: 매 회차에 적립하는 금액(원)을 입력합니다.
- 월복리/연복리 선택: 연복리 선택시 적립액은 매년 적립하는 것으로 가정, 월복리 선택시 적립액을 매월 적립하는 것으로 가정합니다. 기본(디폴트)은 월복리입니다.
- 매 회차 초에 적립하는 것인지 매 회차 말에 적립하는 것인지를 선택합니다. 일반적인 적립식 복리는 매 회차 초에 적립하는 경우가 많고, 연금 미래가치 계산은 매 회차 말 적립되는 것으로 가정하는 경우가 많습니다.
- 연 이자율(%): 연 이자율이 10%라면 10입력. 앞에서 연복리를 선택했다면, 계산에 이용되는 이자율은 입력한 연 이자율 그대로, 월복리를 선택했다면 연 이자율을 12로 나눈 월 이자율을 계산에 이용합니다.
- 적립 연(年)수: 몇 년을 적립하는 지 그 연(年) 수를 입력. 예를 들어, 5년간 적립한다면 5 입력합니다. 앞에서 월복리를 선택했다면 계산에 이용되는 적립 횟수는 입력한 연(年)수에 12를 곱한 수가 됩니다.
적립식 연복리 계산기로 활용하는 법
적립식 월복리 계산기는 연복리으로도 이용할 수 있습니다. 월복리/연복리 선택에서 ‘연 복리’를 선택하면 됩니다. 이 때 적립액은 매년 적립하는 것으로 가정합니다.
따라서 입력해야 하는 내용은 매년 적립액, 연 이자율, 적립 연(年) 수 이고 적립액을 매년 초에 할 것인지 아니면 매년 말에 할 것인지를 선택(기본은 매년 초에 하는 것으로 되어 있음.)하면 됩니다.
적립식 연복리 계산은 고등학교 등비수열의 합을 응용하는 문제인 적립식 원리합계 문제를 푸는 것과 같음을 앞에서 말씀드렸는데요, 예를 들어, 매년 말 50,000원씩 5% 연 이자율로 10년간 적립할 때 10년 후 원리합계는 얼마인가와 같은 문제의 답이 궁금하다면,
적립액 칸에 50,000 입력, 선택되어 있는 연복리는 그대로 둔 후 그 아래에 있는 매 회차 초 선택을 ‘매 회차 말’로 바꾸어 선택하고, 연 이자율 칸에 5, 적립 연수 칸에 10을 입력하면 표시되는 총 원리합계 금액을 보면 됩니다.
적립식 월복리 계산기로 활용하는 법
적립식 월복리 계산 공식은 적립식 연복리 계산 공식을 응용하면 됩니다. 두 가지만 추가적으로 생각하면 됩니다. 하나는 이자율이고 다른 하나는 적립 횟수입니다.
- 연 이자율이 아니라 월 이자율을 적용해야 하므로 연이자율 대신 (연이자율/12)을 쓴다.
- 매월 적립 하므로 적립 횟수는 (적립연수×12)가 된다.
이 두 가지를 고려하여 앞에서 도출한 공식을 변형하면 적립식 월복리 공식을 만들 수 있습니다.
매월 초 적립하는 월복리 공식:
적립액×(1+연이자율/12)×{(1+연이자율/12)(적립연수×12) -1}/(연이자율ᅟ/12)
매월 말 적립하는 월복리 공식:
적립액×{(1+연이자율/12)(적립연수×12) -1}/(연이자율ᅟ/12)
위 공식에서 (연이자율/12)는 월 이자율, (적립연수×12)는 적립 개월 수라고 이해하면 됩니다.
매월 적립하는 경우를 가정하여 계산하려면 적립식 월복리 계산기에 아래 내용을 입력/선택 하면 됩니다.
- 적립액 칸에 매월 적립액(원)을 입력,
- 월복리 선택(기본으로 선택되어 있음)
- 매 회차(매월) 초 또는 매 회차(매월) 말 선택,
- 연 이자율(%),
- 적립 연(年) 수 입력.
그런데 월복리임에도 불구하고 연 이자율(%)을 입력하고, 적립 개월 수가 아니라 적립 연(年) 수를 입력하는 것이 이상하게 느껴질 수 있을 것입니다.
사실 월 복리를 계산하는 것이라면 월 이자율(%)과 적립 개월 수를 입력하는 것이 더 논리적이라고 생각되기도 합니다. 그럼에도 불구하고 연 이자율과 적립 연 수를 입력하는 것은 편리성 때문입니다.
실제 투자 환경에서 월 이자율 정보가 따로 주어지기 보다는 연 이자율 정보만 주어지는 경우가 많고, 투자/적립 기간도 연(年) 단위로 이루어 지는 경우가 많기에 월복리 계산도 연 이자율과 적립 연수 정보를 이용하는 것으로 계산기를 만들었습니다.
월복리를 선택한 경우 입력한 연 이자율은 월 이자율로, 적립 연 수는 적립 개월 수로 자동 환산하여 계산합니다.
적립식 월복리는 매월 투자하는 투자금에 복리로 수익이 붙는 경우나 매월 연금을 받는 경우 일정 기간 후의 미래가치를 계산하는 용도로 쓰기 좋습니다.